こんにちは。

昨日はChatGPTと「t分布とz分布の違い」についてじっくり話しました。理解したつもりでも、いざ思い出そうとすると「あれ、どっち使うんだっけ？」と迷いがちなこのテーマ。そんな自分のためにも、復習用としてブログ形式でまとめておきます。

🔍 まず結論：t分布とz分布の違いはここ！

🤔 そもそも何で2種類あるの？

ChatGPTの説明ではこうでした：

母集団の標準偏差（σ）がわかっているなら、z分布を使えばよい。
わかっていない場合は、標本標準偏差を使って計算する必要があり、その「不確実性」を補うためにt分布が必要になる。

つまり、t分布は「不確実な条件下で慎重に判断する」ための分布。だから裾が広くて余裕を持った構造になっている。

🧠 使い分けの判断軸（覚え方）

これを思い出せばOK：

① 母分散（σ²）が分かる？ → Yes → z分布
                         ↓ No
② サンプルサイズは30以上？ → Yes → z分布で近似OK
                         ↓ No
→ t分布を使う

📈 図のイメージで押さえると忘れない

昨日の会話では「図で覚えるとわかりやすいよね」という話も。

• z分布：釣鐘型のキレイな左右対称（裾が短め）
• t分布：少人数だと裾が長く、ばらつきが広い感じ（自由度が上がるほどz分布に近づく）

※t分布は“保守的に見る”ときに使うイメージ！

こちらが見やすく再描画したZ分布とt分布の比較図です：

• 青線（Z-distribution）：釣鐘型で左右対称、裾が短い＝ばらつきが小さい
• オレンジ破線（t分布, 自由度=2）：裾が広く、ピークが低い＝少人数の不確実性を反映
• 緑点線（t分布, 自由度=5）：少しZ分布に近づくが、まだ広い
• 赤点線（t分布, 自由度=30）：Z分布にかなり近づく＝標本数が多いと正規分布とほぼ同等

💡 実務への落とし込み例

例えば：

• アイスの売上が平日より土日に上がるかどうかを、10店舗のデータだけで判断したいとき → t分布
• 全国1000店舗のデータで傾向を調べる → z分布でもOK

📝 昨日の会話から得た「印象的なフレーズ」

• 「t分布は不確実性へのお守り」
• 「z分布は、すでに道が舗装されているようなもの」
• 「自由度が上がればt分布はz分布になる」←この考えが超重要

✅ 最後に：自分のための思い出し方

• z → 標準偏差（σ）が分かってる安心感
• t → σが不明＋サンプルが少ないときの不安への対処

t分布とz分布の数式の違いは、「分母に何があるか」が核心です。以下に両者の定義式と違いをシンプルに示します。

✅ Z分布（標準正規分布）の式：

Z=xˉ−μσnZ = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}Z=n​σ​xˉ−μ​  

• xˉ\bar{x}xˉ：標本平均
• μ\muμ：母平均（既知）
• σ\sigmaσ：母標準偏差（既知）
• nnn：標本サイズ

👉 母標準偏差 σ\sigmaσ が分母にあるため、標本数が少なくても使えるが、σ\sigmaσが分かってる前提。

✅ t分布の式（Student’s t-distribution）：

t=xˉ−μsnt = \frac{\bar{x} – \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}t=n​s​xˉ−μ​

• sss：標本標準偏差（母標準偏差が不明な場合に代用）

👉 母標準偏差が不明なときに、標本標準偏差 sss を使うため不確実性が増す。
→ これが「裾が広い＝ばらつきが大きい」理由。

🔍 結論：

次に学ぶといい話題

• t検定の種類（対応あり・対応なし）
• 自由度とグラフの変化
• 二項分布と正規分布の近似関係